Separation af de variable

Denne artikel bør gennemlæses af en person med fagkendskab for at sikre den faglige korrekthed.
    Forsøget på at formulere artiklen populærvidenskabeligt gør artiklen uforståelig for både fagfolk og formodentligt også folk, der kun har matematik på A-niveau.

Separation af de variable er en matematisk metode til at løse separabel første ordens differentialligninger.^[2] Beviset for, at den logistiske funktions forskrift er løsningen til en differentialligning, kan føres vha. separation af de variable;^[3] hvor ${\displaystyle g(x)=1}$.

Metoden anvendes, hvor differentialkvotienten af ${\displaystyle y}$ er lig med en funktion af ${\displaystyle x}$ multipliceret med en funktion af ${\displaystyle y}$:^[4]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {y}}{\mathrm {d} {x}}}={g(x)}\cdot {h(y)}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Først tager man forbehold: ${\displaystyle h(y)\neq 0}$ og så separerer man de variable:^[5] Man dividerer med ${\displaystyle h(y)}$ og multiplicerer med ${\displaystyle dx}$ sådan:^[6]

${\displaystyle {\frac {1}{h(y)}}\cdot dy=g(x)\cdot dx}$

${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Man fjerner gange-tegn og tilføjer integral-tegn på begge sider: Det ubestemte integrale af ${\displaystyle 1}$ divideret med funktionen af ${\displaystyle y}$ er lig med det ubestemte integral af funktionen af ${\displaystyle x}$:^[7]

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\mathrm {d} {y}=\int {g(x)}\mathrm {d} {x}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Herefter omdanner man til en almindelig ligning ved at skrive to stamfunktioner:^[8]

${\displaystyle H(y)=G(x)+\beta ,\beta }$ er et reelt tal og fælles integrationskonstant for de to stamfunktioner.^[9]

1. ^ side 4 i Elementær Matematik på olewitthansen.dk
2. ^ side 1 i Erik Vestergaard: Differentialligninger - separation af variable på matematikfysik.dk
3. ^ siderne 5-7 i Erik Vestergaard: Differentialligninger - separation af variable på matematikfysik.dk
4. ^ Separation af variable (siderne 21 - 23) i Mike Vandal Auerbach (2021): Differentialligninger på mathematicus.dk
5. ^ siderne 7 - 10 i Henrik Søgaard Hansen: Differentialligninger på intranet.sctknud-gym.dk
6. ^ side 40 i Differentialligninger - Et undervisningsforløb med Derive og modelbygning. Højt niveau i matematik i gymnasiet på science-gym.dk
7. ^ Differentialligninger af første orden på alsholm.dk
8. ^ Differential equations på maths.gla.ac.uk
9. ^ side 61 i Matematikcenter: Formelsamling A-niveau Maj 2017 på webmatematik.dk